讨论a为何值时非齐次线性方程组有唯一解?

对增广矩阵
1 a 1 a
1 1 a a^2
进行行初等变换,第一行乘以-1加到第二行：
1 a 1 a
0 1-a a-1 a^2-a
则a=1时,第二行全为零,R(A)=R(A,b)=1＜3=n,所以方程组有无穷多解,解是x=(1,0,0)'+k1(1,-1,0)'+k1(1,0,-1)'.
a≠1时,增广矩阵进一步化为
1 a 1 a
0 1 -1 -a
R(A)=R(A,b)=2＜3=n,所以方程组有无穷多解,解是x=(a+a^2,-a,0)'+k(1+a,-1,-1)'.

增广矩阵 =
1 a 1 a
1 1 a a^2
r1-r2
0 a-1 1-a a(1-a)
1 1 a a^2
a=1时. r(A)=r(A,b)=1, 有无穷解
a=0时. r(A)=r(A,b)=2, 有无穷解
总有无穷多解.