设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=4x−x2，y=x+3的图象上，且MN=2PN，则点P横坐标的取值范围为[−5

解题思路：如图所示，由

MN

=2

PN

，可得点P是线段MN的中点．设M（x₁，y₁），P（x，y），N（x₂，y₂）．可得x＝

x1+x2

2

，y＝

y1+y2

2

，y1＝

4x1− x 2 1

，（0≤x₁≤4），y₂=x₂+3，y=2x+2．化为2x=

4x1− x 4 1

-1-x₁（0≤x₁≤4）．
令f（t）=

4t−t2

−1−t（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．

如图所示，
∵

MN=2

PN，
∴点P是线段MN的中点．
设M（x₁，y₁），P（x，y），N（x₂，y₂）．
∴x＝
x1+x2
2，y＝
y1+y2
2，y1＝
4x1−
x21，（0≤x₁≤4），
y₂=x₂+3，y=2x+2．
化为2x=
4x1−
x41-1-x₁（0≤x₁≤4）．
令f（t）=
4t−t2−1−t（0≤t≤4）．
f′（t）=
2−t

4t−t2-1，
当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．
当0≤t＜2时

点评：
本题考点： 向量数乘的运算及其几何意义．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．