已知函数f（x）=ax+b/x²+1（a＞0）

已知函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)（a＞0）
（1）若f(x)的极大值为2,极小值为-2,求a,b的值
（2）在（1）的条件下,g(x)=k(x-1/3),讨论F(x)= f(x)-g(x)的零点个数

(1)解析：∵函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)（a＞0）
f’(x)=[a(x^2+1)-2x(ax+b)]/(x^2+1)^2=(-ax^2-2bx+a)/(x^2+1)^2
令-ax^2-2bx+a=0
由韦达定理得x1+x2=-2b/a,x1x2=-1
∵f(x)的极大值为2,极小值为-2,
不仿设f(x1)=-2,f(x2)=2
∴(ax1+b)/(x1^2+1)=-2,
(ax2+b)/(x2^2+1)=2==>(bx1^2-ax1)/(x^2+1)=2
∴ax1+b=-bx1^2+ax1==>b=0
∴x1+x2=-2b/a=0
∵x1x2=-1==>x1=-1,x2=1
∴a=4
即a=4,b=0
(2)解析：由（1）知f(x)=4x/(x^2+1)
∵g(x)=k(x-1/3)
令F(x)=f(x)-g(x)=0==>4x/(x^2+1)=k(x-1/3) *
当k=0时,
4x=0==>x=0,有一个零点；
当k≠0时
*式==>4x/k=(x^2+1)(x-1/3)
∴函数F(x)的零点个数等价于直线y=4x/k与曲线y=(x^2+1)(x-1/3)交点个数
K<0时
y=4x/k其图像为过原点,且过二、四象限的直线；
y=(x^2+1)(x-1/3)==>y’=3x^2-2x/3+1>0其图像为单调增的曲线
可知二函数图像只有一个交点；
K>0时
y=4x/k其图像为过原点,且过一、三象限的直线；
设直线与曲线相切,切点为(x0,y0)
两边分别取导：4/k=3x^2-2x/3+1
∴3x0^2-2x0/3+1=4/k,y0=4x0/k=(x0^2+1)(x0-1/3)
联立化简得6x0^3-x0^2+1=0==>x0=-1/2,k=48/25
∴切点为(-1/2,-25/24)



∴0直线与曲线有三个交点,即函数F(x)有三个零点；
K=48/25时,
直线与曲线有二个交点,即函数F(x)有二个零点；
K>48/25时,
直线与曲线有一个交点,即函数F(x)有一个零点；

综上：k<=0或k>48/25时,函数F(x)有一个零点；
0K=48/25时,函数F(x)有二个零点；