已知a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立

1,当a,b,c 都大于等于0时ab+bc+ca>0所以ab+bc+ca+1>0恒成立
2,当a=0 ,b,c 不等于0时 ab+bc+ca+1=bc+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以bc绝对值小于1 即bc小于-1或大于0小于1 所以bc+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
3,当b=0,a,c不等于0时 ab+bc+ca+1=ca+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以bc绝对值小于1 即ca小于-1或大于0小于1 所以ca+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
4,当c=0,a,b不等于0时 ab+bc+ca+1=ab+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以ab绝对值小于1 即ca小于-1或大于0小于1 所以ab+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
5,当a,b,c=0时ab+bc+ca+1=1所以ab+bc+ca+1>0恒成立
6,当a,b,c 小于0时ab,bc,ca>0所以ab+bc+ca+1>0恒成立
7,当a>0,b,c 小于0时bc>0,ab＜0,ca＜0
已知a,b,c 的绝对值都小于1,ab+ca＜1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
8,当b>0,a,c 小于0时ca>0,ab＜0,bc＜0
已知a,b,c 的绝对值都小于1,ab+bc＜1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
9,当c >0,a,b 小于0时ab>0,ca＜0,bc＜0
已知a,b,c 的绝对值都小于1,ca+bc＜1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
所以当a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立

依题意 ，可知a，b，c都属于（-1,1）
设f（a）=a(b+c)+bc+1
（易得 f（a）为一次函数，只要f（1）> 0且f（-1）>0即可证出）
f（1）=b+c+bc+1=c（b+1）+b+1=（b+1）（c+1）>0；
f（-1）=-b-c+bc+1=c（b-1）-b+1=（b-1）（c-1）>0；
所以f（a）在（1,1）上恒大于0