问一个线代题

显然由行列式的性质可以知道,
Dn=
|1+a1 1 … 1 + |1+a1 1 … 1
1 1+a2 … 1 1 1+a2 … 1
…… ……
1 1 … 1| 0 0 … an|
即原行列式等于这两个行列式之和
|1+a1 1 … 1
1 1+a2 … 1
……
1 1 … 1| 每一行减去最后一行
=
| a1 0 … 0
0 a2 … 0
……
1 1 … 1| 这样化简成了对角线行列式
=a1*a2*…*a(n-1)
而
|1+a1 1 … 1
1 1+a2 … 1
……
0 0 … an| 按最后一行展开
=
|1+a1 1 … 1
1 1+a2 … 1
……
1 1 …1+a(n-1)| *an
而显然
|1+a1 1 … 1
1 1+a2 … 1
……
1 1 …1+a(n-1)| = D(n-1)
所以原行列式
Dn= an*D(n-1) +a1*a2*…*a(n-1)
递推可以得到
D(n-1)= a(n-1)*D(n-2) +a1*a2*…*a(n-2)
……
D(n-m)=a(n-m)*D(n-m) + a1*a2*…*a(n-m-1)
D2=a2*D1 +a1=a2*(1+a1) +a1=a2*a1+a1+a2
所以
Dn
=an*D(n-1) +a1*a2*…*a(n-1)
=an*[a(n-1)*D(n-2) +a1*a2*…*a(n-2)] + a1*a2*…*a(n-1)
=an*a(n-1)*D(n-2) + a1*a2*…*a(n-2)*an + a1*a2*…*a(n-1)
=an*a(n-1)*D(n-2) + a1*a2*…*a(n-1)*an * [1/an+1/a(n-1)]
于是可以递推得到
Dn
=an*a(n-1)*…*a3*D2 + a1*a2*…*a(n-1)*an * [1/an+1/a(n-1)+…+1/a3] 代入D2=a2*D1 +a1
=an*a(n-1)*…*a3*(a2*a1+a1+a2) + a1*a2*…*a(n-1)*an * [1/an+1/a(n-1)+…+1/a3]
=an*a(n-1)*…*a3*a2*a1 + a1*a2*…*a(n-1)*an * [1/an+1/a(n-1)+…+1/a3+1/a2+1/a1]
=a1*a2*…*an(1+ 1/a1+1/a2+…+1/an)