已知函数f（x）=alnx-x 2 ，x=1是f（x）的一个极值点．

（1）求导函数可得f′（x）=
a
x -2x=-
2 x 2 -a
x （x＞0）
∵x=1是f（x）的一个极值点．
∴f′（1）=0，可得a=2．
（2）f（x）=2lnx-x ² ，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x ² +m，
则h′（x）=
2
x -2x=-
2
x (x-1)(x+1) ，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
由于x∈[
1
e ，e ]，
则当x∈[
1
e ，1 ]时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[
1
e ，e ]内有两个不等实根的充要条件是：



h(
1
e )≤0
h(1)＞0
h(e)≤0．
即 1＜m≤2+
1
e 2 ．
（3）若g（x）的图象与x轴交于A（x ₁ ，0），B（x ₂ ，0）（其中x ₁ ＜x ₂ ），
则方程2lnx-x ² +3x=0的解为x ₁ ，x ₂ （其中x ₁ ＜x ₂ ）．
故函数y=2lnx与y=x ² -3x的交点的横坐标为x ₁ ，x ₂ ，
作出两函数图象如图．如图所示，
由于 2ln
1
2 =-2ln2≈-1.4 ， (
1
2 ) 2 -3×
1
2 =-
5
4 =-1.25 ，所以
1
2 ＜ x 1 ＜1 ，
同理得到
7
2 ＜ x 2 ＜4 ，

故 -1＜ -x 1 ＜-
1
2 ，所以
5
2 ＜x ₂ -x ₁ ＜
7
2 ．