Oops2005 幼苗
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方法一:(I)证明:因为AC=BC,M是AB的中点,
所以CM⊥AB.
又EA⊥平面ABC,
所以CM⊥EM.
(II)过点M作MH⊥平面CDE,垂足是H,连接CH交延长交ED于点F,
连接MF,MD.∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角.
因为MH⊥平面CDE,ED⊥MH,
又因为CM⊥平面EDM,
所以CM⊥ED,
则ED⊥平面CMF,因此ED⊥MF.
设EA=a,
在直角梯形ABDE中,AB=2
2a,M是AB的中点,
所以DE=3a,EM=
3a,MD=
6a,
得△EMD是直角三角形,其中∠EMD=90°,
所以MF=
EM•MD
DE=
2a.
在Rt△CMF中,tan∠FCM=
MF
MC=1,
所以∠FCM=45°,
故CM与平面CDE所成的角是45°.
方法二:如图,以点C为坐标原点,以CA,CB分别为x轴和y轴,
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立直角坐标系C-xyz,设EA=a,
则A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a).D(0,2a,2a),M(a,a,0).
(I)证明:因为
EM=(−a,a,−a),
CM=(a,a,0),
所以
EM•
CM=0,故EM⊥CM.
(II)设向量n=(1,y0,z0)与平面CDE垂直,则n⊥
CE,n⊥
CD,
即n•
CE=0,n•
CD=0.
因为
CE=(2a,0,a),
CD=(0,2a,2a),
所以y0=2,x0=-2,
cos〈n,
CM>=
CM•n
|
CM|•|n|=
2
2,
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
CM夹角的余角,
所以θ=45°,
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°.
点评:
本题考点: 棱柱的结构特征;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.利用空间直角坐标系解答时,注意计算的准确性.
1年前
1年前1个回答
你能帮帮他们吗