不等式 设a,b,c的绝对值小于1,求证:bc+ca+ab+1>0

本本毛 1年前 已收到3个回答 举报
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金龙鱼8853 幼苗

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设a,b,c的绝对值小于1,求证:bc+ca+ab+1>0
证明 构造一次函数,f(x)=(b+c)x+bc+1,｜x｜0.证毕.

1年前

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guojaibin85 幼苗

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我能给出最简单的做法！
a+b,b+c,c+a这三个数中，有抽屉原则知，必有两个同正负（0人未遇任何数同正负）
不妨设 a+b，a+c同正负，则(a+b)(a+c)>=0
另一方面 1-a^2>0
所以 ab+bc+ca+1= [a^2+a(b+c)+bc] + (1-a^2) =(a+b)(a+c)+(1-a^2)>0

1年前

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薄荷红茶1985 幼苗

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构造函数f(a)=bc+ca+ab+1=(b+c)a+bc+1
因为|a|<1,|b|<1,|c|<1
所以-1b+1>0，b-1<0
c+1>0，c-1<0
f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)(c-1)>0
所以f(a)>0对任意a∈(-1,1)都成立
即当|a|<1,|b|<1,|c|<1时，bc+ca+ab+1>0成立

1年前

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