0为三角形ABC内任一点求证：1/2（AB+BC+CA）小于AO+BO+CO小于AB+BC+CA

由三角形性质得
两边之和大于第三边
所以
AO+BO>AB
AO+CO>AC
BO+CO>BC
三式相加
2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC
不等式两边同除2
所以1／2（AB＋BC＋CA）〈AO＋BO＋CO
设点O在BC上
则有BO+CO=BC
此时易证
AB+BC+AC>AO+BO+CO
过点O做AO交BC于点H
当点O在三角形内时,则应用上面性质有
AB+BC+AC>AH+BH+CH
OH+BH>BO OH+CH>CO
所以AH+BH+CH>AO+BO+CO
所以AB+BC+AC>AH+BH+CH>AO+BO+CO
即AB+BC+AC>
AO+BO+CO