关于r(AB)的两个结论的证明如图：A-m×n ,B-m×n 则可以推出关于r(AB)的两个结论第一个：r(AB)≤mi

设R(Am×n)=k,R(Bn×m)=r,则有初等矩阵P、Q（非奇异矩阵）,使
PA=[Sk×n （左乘是行变换,就是说将矩阵的后面几行变成0）
0 ]
BQ=[Tn×r 0] （右乘是列变换,就是将矩阵的后面几列变成0）
PABQ=[Sk×n [Tn×r 0 ] =(ST)k×r 0
0 ] 0 0
R(AB)=R(PABQ)=R[(ST)k×r 0 =R[(ST)k×r]≤min(k,r)
0 0]
如果A可逆,A就是方阵啊
AB=ABE
因为A、E可逆,那么AB就和B等价
R(AB)=R(B)
BA=EBA
BA和B等价
所以R(BA)=R(B)

若A-m×n , B-m×n ,AB没有意义，除非m=n, 故原题应为B-n×p.

要AB,BA都有意义，必须m=n.

证明如下（见图）