（2011•泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点
（2011•泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l
分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
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（1）∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，
∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．
（2）由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，
∠FAC＝∠EAC
AO＝AO
∠AOF＝∠AOE，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AFO=∠CFO，
∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．
（2）由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，
∠FAC＝∠EAC
AO＝AO
∠AOF＝∠AOE，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
1年前
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