（2011•太原）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点

（2011•太原）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为______，直线l的解析式为
y＝
4
3
x
y＝
4
3
x
．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
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missmage 春芽

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解题思路：（1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式；
（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S关于t的函数，解题时注意t的取值范围；
（3）分别根据三种函数解析式求出当t为何值时，S最大，然后比较三个最大值，可知当t=
8
3]时，S有最大值，最大值为[128/9]；
（4）根据题意并细心观察图象，分两种情况讨论可知：当t=[60/13]时，△QMN为等腰三角形．

（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），
且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），
设直线l的解析式为y=kx，
将C点坐标代入y=kx，
解得k=[4/3]，
∴直线l的解析式为y=[4/3]x；
故答案为：（3，4），y=[4/3]x；


（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：
①当0＜t≤[5/2]时，如图1，M点的坐标是（t，[4/3]t）．
过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEQ∽△ODC，
∴[AQ/OC＝
AE
OD＝
QE
CD]，
∴[2t/5＝
AE
3＝
QE
4]，
∴AE=[6t/5]，EQ=[8/5]t，

∴Q点的坐标是（8+[6/5]t，[8/5]t），
∴PE=8+[6/5t−t＝8+
1
5]t，
∴S=[1/2•MP•PE＝
1
2•
4
3t•(8+
1
5t)＝
2
15t2+
16
3]t，

②当[5/2]＜t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q点的坐标是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t，
∴S=[1/2•MP•PF＝
1
2•
4
3t•(16−3t)＝−2t2+
32
3]t，

③当点Q与点M相遇时，16-2t=t，解得t=[16/3]．
当3＜t＜[16/3]时，如图3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
S=[1/2•MP•MQ＝
1

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于难题．

1年前

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