(本小题满分14分)椭圆 E 中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，其离心率 e = ，过点 C (－1，0)的直线 l

（1） S _{△ OAB} = ( k ≠0).；（2） x ² +3 y ² =5.

(1)设椭圆 E 的方程为 =1( a ＞ b ＞0)，由 e = .
∴ a ² =3 b ² ，故椭圆方程 x ² +3 y ² =3 b ² . 2分
设 A ( x ₁ ， y ₁ )、 B ( x ₂ ， y ₂ )，由于点 C (－1，0)分有向线段 的比为2，


①②
∴ ，即 由 消去 y 整理并化简，得(3 k ² +1) x ² +6 k ² x +3 k ² －3 b ² =0.4分
由直线 l 与椭圆 E 相交于 A ( x ₁ ， y ₁ )、 B ( x ₂ ， y ₂ )两点，


③
④
⑤
∴ 而 S _{△ OAB} = | y ₁ － y ₂ |= |－2 y ₂ － y ₂ |
= | y ₂ |= | k ( x ₂ +1)|= | k || x ₂ +1|.⑥
由①④得: x ₂ +1=－ ，代入⑥得：
S _{△ OAB} = ( k ≠0).8分
(2)因 S _{△ OAB} = = ≤ = ，
当且仅当 k =± ， S _{△ OAB} 取得最大值.
此时 x ₁ + x ₂ =－1，又∵ =－1，
∴ x ₁ =1， x ₂ =－2.
将 x ₁ ， x ₂ 及 k ² = 代入⑤得3 b ² =5.
∴椭圆方程 x ² +3 y ² =5.14分