(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2， ）在椭圆上，。

（1） ；（2）S 。


试题分析：（1）因为椭圆E: （a>b>0）过M（2， ） ，2b=4
故可求得b=2,a=2 椭圆E的方程为 ……2分
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为 ，
解方程组 得 ,即 ,
则△= ,
即 （*）……………………4分
, 要使 ,需使 ,即 ,
所以 , 即 ①………………………7分
将它代入（*）式可得 ……………………………8分
P到L的距离为
又
将 及韦达定理代入可得 ……………………10分
当 时
由 故 ……………12分
当 时,
当AB的斜率不存在时, ,
综上S ……………………………13分
点评：求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。