不定积分 三角代换 问题 !55555!

∫√(a²-x²)dx=a∫√[1-(x/a)²]dx
令x/a=sint,则x=asint,dx=acostdt
故原式=a²∫[√(1-sin²t)]costdt=a²∫cos²tdt=(a²/2)∫(1+cos2t)dt=(a²/2)[∫dt+(1/2)∫cos2td(2t)
=(a²/2)[t+(1/2)sin2t]+C=(a²/2)(t+sintcost)+C=(a²/2)[arcsin(x/a)+(x/a)√[1-(x/a)²]+C
=(a²/2)arcsin(x/a)+(x/2)√(a²-x²)+C
只有这么令,才能脱掉根号!

x=asin(t)
(a^2-x)^0.5=(a^2-(asin(t)))^0.5=(a^2-a^2(sin(t)^2)^0.5=a(1-(sin(t))^2)^0.5=a(cos(t))
通过变换消除了根号 利于积分
积分中根号的积分难 通过类似上面的三角变换可得出结果。