在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM
在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
（1）类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线中也成立的性质；
（2）证明（1）中的结论．
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解题思路：（1）类比椭圆的性质，直接叙述．
（2）设A（x1，y1），A（x1，y1），M（x0，y0）利用点差法能证明kOM•kAB=
．
（2）设A（x1，y1），A（x1，y1），M（x0，y0）利用点差法能证明kOM•kAB=
| b2 |
| a2 |
（1）在平面直角坐标系xOy中，已知AB是双曲线
x2
a2-
y2
b2=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为kOM，kAB，则kOM•kAB=
b2
a2．…（4分）
（2）证明：设A（x1，y1），A（x1，y1），M（x0，y0）
由
x12
a2−
y12
b2＝1
x22
a2−
y22
b2＝1，得：
x12−x22
a2−
y12−y22
b2＝0，（6分）
∴
(x1+x2)(x1−x2)
a2−
(y1+y2)(y1−y2)
b2=0，
∵M（x0，y0）为AB的中点
∴x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，（9分）
∴
2x0(x1−x2)
a2−
2y0(y1−y2)
b2=0，
∴kAB=
y1−y2
x1−x2=
b2 x0
a2y0，（11分）
∵kOM=
y0
x0，（13分）
∴kOM•kAB=
b2
a2．（16分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查双曲线性质的类比叙述，考查两直线的斜率乘积为定值的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
1年前
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