（2014•安庆二模）如图，已知点F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x+t）2+y2=2（

（2014•安庆二模）如图，已知点F为椭圆C：

=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x+t）²+y²=2（t＞0）与椭圆C的一个公共点为B（0，1），且直线FB与圆A相切于点B．
（Ⅰ）求t的值及椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设动点P（x₀，y₀）满足

，其中M、N是椭圆C上的点，O为原点，直线OM与ON的斜率之积为-[1/2]，求证：x₀²+2y₀²为定值．

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voododo 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）根据圆A：（x+t）²+y²=2（t＞0）与椭圆C的一个公共点为B（0，1），求t的值；在Rt△AFB中，|AB|²+|FB|²=|AF|²，求出c，即可求出椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用

＝

，可得x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂，利用直线OM与ON的斜率之积为−

，可得x₁x₂+2y₁y₂=0，从而可得x₀²+2y₀²为定值．

（Ⅰ）由题意可知b=1，
∵t²+1=2，∴t=±1．
∵t＞0，∴t=1．…..（2分）
在Rt△AFB中，|AB|²+|FB|²=|AF|²，
∴2+（1+c²）=（1+c）²，
∴c＝1，a＝
2
故椭圆的标准方程为：
x2
2+y2＝1…..（6分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵

OP＝

OM+3

ON，
∴x₀=x₁+3x₂，y₀=y₁+3y₂
∵M、N在椭圆上，∴
x21+2
y21＝2，
x22+2
y22＝2
又直线OM与ON的斜率之积为−
1
2，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
于是x02+2y02＝(x12+6x1x2+9x22)+2(y12+6y1y2+9y22)=(
x21+2
y21)+6(x1x2+2y1

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

1年前

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