长剑善舞
幼苗
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●操作发现:
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中,
∠ADB=∠AEC
∠ABD=∠ACE
AB=AC,
∴△ADB≌△AEC(AAS),
∴BD=CE,AD=AE,
∵DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,
∴AF=BF=DF=
1
2AB,AG=GC=GE=
1
2AC.
∵AB=AC,
∴AF=AG=
1
2AB,故①正确;
∵M是BC的中点,
∴BM=CM.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE,
即∠DBM=∠ECM.
在△DBM和△ECM中,
BD=CE
∠DBM=∠ECM
BM=CM
∴△DBM≌△ECM(SAS),
∴MD=ME.故②正确;
连接AM,根据前面的证明可以得出将图形1,沿AM对折左右两部分能完全重合,
∴整个图形是轴对称图形,故③正确.
∵AB=AC,BM=CM,
∴AM⊥BC,
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∵∠ADB=90°,
∴四边形ADBM四点共圆,
∴∠ADM=∠ABM,
∵∠AHD=∠BHM,
∴∠DAB=∠DMB,故④正确,
故答案为:①②③④
●数学思考:
MD=ME,MD⊥ME.
理由:作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,
∴AF=
1
2AB,AG=
1
2AC.
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,
∴DF⊥AB,DF=
1
2AB,EG⊥AC,EG=
1
2AC,
∴∠AFD=∠AGE=90°,DF=AF,GE=AG.
∵M是BC的中点,
∴MF∥AC,MG∥AB,
∴四边形AFMG是平行四边形,
∴AG=MF,MG=AF,∠AFM=∠AGM.
∴MF=GE,DF=MG,∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE,
∴∠DFM=∠MGE.
在△DFM和△MGE中,
FM=GE
∠DFM=∠MGE
DF=MG,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴DM=ME,∠FDM=∠GME.
∵MG∥AB,
∴∠GMH=∠BHM.
∵∠BHM=90°+∠FDM,
∴∠BHM=90°+∠GME,
∵∠BHM=∠DME+∠GME,
∴∠DME+∠GME=90°+∠GME,
即∠DME=90°,
∴MD⊥ME.
∴DM=ME,MD⊥ME;
●类比探究:
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点,
∴MF∥AC,MF=
1
2AC,MG∥AB,MG=
1
2AB,
∴四边形MFAG是平行四边形,
∴MG=AF,MF=AG.∠AFM=∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴DF=AF,GE=AG,∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG,DF=MG,∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE,
即∠DFM=∠MGE.
在△DFM和△MGE中,
FM=GE
∠DFM=∠MGE
DF=MG,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴MD=ME,∠MDF=∠EMG.
∵MG∥AB,
∴∠MHD=∠BFD=90°,
∴∠HMD+∠MDF=90°,
∴∠HMD+∠EMG=90°,
即∠DME=90°,
∴△DME为等腰直角三角形.
1年前
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