已知函数f（x）=x平方+aln（x+1）,若对于任意x∈［1,2］,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围?

已知函数f(x)=x²+aln(x+1)，若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立，求实数a的 取值范围。 设F(x)=f(x)-x=x²-x+aln(x+1)≦0在区间[1，2]内恒成立。 由于F'(x)=2x-1+a/(x+1)=(2x²+x-1+a)/(x+1)，在区间[1，2]内，分母x+1>0恒成 立，故只需考虑分子u=2x²+x-1+a的符号。由于u是一条开口朝上的抛物线，故当其 判别式Δ=1-8(a-1)=9-8a<0，即a>9/8时对任何x都有u>0，即F(x)是增函数；为使 F(x)≦0在区间[1，2]内恒成立，只需F(2)=4-2+aln3=2+aln3≦0，即a≦-2/ln3就行 了；但这与前提条件a>9/8矛盾，故无此情况。 当其判别式Δ=9-8a≧0，即a≦9/8时，u=2x²+x-1+a=2(x²+x/2)+a-1 =2[(x+1/4)²-1/16]+a-1=2(x+1/4)²+a-9/8，其对称轴为x=-1/4在区间[1，2] 的左边。又由于其最小值=a-9/8≦0，因此F(x)在区间[1，2]内单调增；故要使 F(x)=x²-x+aln(x+1)≦0在区间[1，2]内恒成立只需F(2)=2+aln3≦0，即a≦-2/ln3 就行了.由此得a的取值范围为（-∞，-2/ln3].