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白的婷婷 花朵
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(1)设满足题设的等比数列为an,
则an=(−
1
2)n−1.
于是|an−an−1|=|(−
1
2)n−1−(−
1
2)n−2|=
3
2×(
1
2)n−2n≥2
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|
=
3
2×[1+
1
2+(
1
2)2+…+(
1
2)n−1]
=3×[1−(
1
2)n] <3,所以首项为1,公比为-[1/2]的等比数列是B-数列.
(2)命题1:若数列xn是B-数列,
则数列Sn是B-数列.此命题为假命题.
事实上设xn=1(n∈N*),易知数列xn是B-数列,但Sn=n,
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n.
由n的任意性知,数列Sn不是B-数列.
命题2:若数列Sn是B-数列,
则数列xn不是B-数列.此命题为真命题.
事实上,因为数列Sn是B-数列,
所以存在正数M,对任意的n∈N*,
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M,
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M.
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|,
所以数列xn是B-数列.
(3)若数列是{an}B-数列,则存在正数M,对任意的n∈N*有
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M
因为|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M+|a1|
记K=M+|a1|,则有|an+12-an2|=|(an+1+an)(an+1-an)
≤(|an+1|+|an|)|an+1-an|≤2K|an+1-an|
因此|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤2KM
故数列{an2}是B-数列.
点评:
本题考点: 数列的应用.
考点点评: 考查学生理解数列概念,灵活运用数列表示法的能力,旨在考查学生的观察分析和归纳能力,特别是问题(2)(3)的设置,增加了题目的难度,同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想,属难题.
1年前
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