大峡谷（A）和山(B)位于笔直的公路X同侧,AB=50KM,A,到直线X的距离分别为10KM,40KM,要在公路旁修建

：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C,垂足为C；AD⊥BC于D,垂足为D,
则BC=40,又AP=10,
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中,AD=
502-302
=40,（1分）
在Rt△PBC中,
∴BP=
CP2+BC2
=40
2
,
S1=40
2
+10．（2分）
图（2）中,过B作BC⊥AA′垂足为C,则A′C=50,
又BC=40,
∴BA'=
402+502
=10
41
,
由轴对称知：PA=PA',
∴S2=BA'=10
41
,（3分）
∴S1＞S2．（4分）
（2）如图（2）,在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA',
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B,
∴S2=BA'为最小．（7分）
（3）过A作关于X轴的对称点A',过B作关于Y轴的对称点B',
连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求．（8分）
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
B′G=40+10=50,A′G,30+30+40=100,
A'B'=
1002+502
=50
5
,
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50
5
,
∴所求四边形的周长为50+50
5
．（10分）