阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、

阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁，求S₁的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A₁C、B₁A、C₁B，因为A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S△A1BC＝S△B1CA=S△C1AB＝2S△ABC＝2a，由此继续推理，从而解决了这个问题．

（1）直接写出S₁=______（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S_△APE与S_△BPF的比值．

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糊涂虫111 幼苗

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解题思路：（1）首先根据题意，求得S_△A₁BC=2S_△ABC，同理可求得S_△A₁B₁C=2S_△A₁BC，依此得到S_{△A₁B₁C₁}=19S_△ABC，则可求得面积S₁的值；
（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积；
（3）设S_△BPF=m，S_△APE=n，依题意，得S_△APF=S_△APC=m，S_△BPC=S_△BPF=m．得出[n/m＝

3]，从而求解．

（1）S₁=19a；

（2）过点C作CG⊥BE于点G，

设S_△BPF=x，S_△APE=y，
∵S△BPC＝
1
2BP•CG＝70；S△PCE＝
1
2PE•CG＝35，
∴
S△BPC
S△PCE＝

1
2BP•CG

1
2PE•CG＝
70
35＝2．
∴[BP/EP＝2，即BP=2EP．
同理，
S△APB
S△APE＝
BP
PE]．
∴S_△APB=2S_△APE．
∴x+84=2y．①
∵
S△APB
S△BPD＝
AP
PD＝
x+84
40，
S△APC
S△PCD＝
AP
PD＝
y+35
30，
∴[x+84/40＝
y+35
30]．②
由①②，得

x＝56
y＝70，
∴S_△ABC=315．

（3）设S_△BPF=m，S_△APE=n，如图所示．

依题意，得S_△APF=S_△APC=m，S_△BPC=S_△BPF=m．
∴S_△PCE=m-n．
∵
S△APB
S△APE＝
S△BPC
S△PCE＝
BP
PE，
∴[2m/n＝
m
m−n]．
∴2m（m-n）=mn，
∵m≠0，
∴2m-2n=n．
∴[n/m＝
2
3]．
∴
S△APE
S△BPF＝
2
3．

点评：
本题考点：三角形的面积；解二元一次方程组．

考点点评：此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．

1年前

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