一道数列的较难题.1的平方+2分之一的平方+3分之一的平方+4分之一的平方+.n分之一的平方等于多少?我想问下能不能用列
一道数列的较难题.
1的平方+2分之一的平方+3分之一的平方+4分之一的平方+.n分之一的平方等于多少?
我想问下能不能用列项求和或者放缩法或者其他方法得出答案？
或者哪位高手告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？
1的平方+2分之一的平方+3分之一的平方+4分之一的平方+.n分之一的平方等于多少?
我想问下能不能用列项求和或者放缩法或者其他方法得出答案？
或者哪位高手告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？
赞 7d_lcs 幼苗
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1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2,有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2,有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6
1年前 追问
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请您告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？应该怎么做？
hehuasheng 幼苗
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好像没有关于1/n²的和的通项公式
1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²，当n→+∞，其极限是π²/6请您告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？应该怎么做？1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/n^2<1/1*3+1/2*4+1/3*5+....+1/(n-1)(n+1) =1+1/2...
1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²，当n→+∞，其极限是π²/6请您告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？应该怎么做？1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/n^2<1/1*3+1/2*4+1/3*5+....+1/(n-1)(n+1) =1+1/2...
1年前
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lillian_1983 幼苗
共回答了351个问题 举报
原式=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2，
≤1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+…+1/（n-1)-1/n
=1+1-1/n
<2
≤1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+…+1/（n-1)-1/n
=1+1-1/n
<2
1年前
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