（2012•邗江区一模）已知：正方形ABCD的边长为4，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连接TO交⊙O于

解题思路：（1）①根据正方形的性质得∠TAD=45°，再根据圆周角定理和推论得∠SDT=90°，∠TSD=∠TAD，易得△DST为等腰直角三角形，则DT=DS，DT⊥DS；
②由∠SDT=∠ADC=90°得∠SDA=∠CDT，易证得△DAS≌△DCT，得AS=TC，所以AS-AT=TC-AT=AC=4

2

；
（2）同样可证得△DST为等腰直角三角形，得到DS=DT，而∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，则△DAS≌△DCT，AS=TC，得AS-AT=TC-AT=AC=4

2

；
（3）提出的问题是：求 AT-AS 的值．在TA上截取TF=AS，连接EF，易证得△EST为等腰直角三角形，得到SE=TE，易证△EAS≌△EFT，得到∠SEA=∠TEF，AE=EF，
得到△AEF为等腰直角三角形，则AF=

2

AE，而AE=AD=4，于是有AT-AS=AT-TF=AF=4

2

．

（1）①线段DT、DS的数量和位置关系分别是：DT=DS，DT⊥DS．理由如下：
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠TAD=45°，
∵TS为直径，
∴∠SDT=90°，
又∵∠TSD=∠TAD，
∴∠TSD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DT=DS，DT⊥DS；
②∵∠SDT=∠ADC=90°，
∴∠SDA=∠CDT，
又∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，
∴∠SAD=45°，
∴∠SAD=∠DCT，
而DA=DC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS+AT=AC，
而正方形ABCD的边长为4，
∴AC=4
2，
∴AS+AT=4
2；
（2）∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，∠SDT=90°，
∴∠SAC=90°，
而∠CAD=45°，
∴∠SAD=45°，
∴∠STD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DS=DT，
又∵∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS-AT=TC-AT=AC=4
2；
（3）提出的问题是：求 AT-AS 的值．解答如下：
在TA上截取TF=AS，连接EF，如图，
∵∠TAE=∠BAC=45°，
∴△EST为等腰直角三角形，
∴SE=TE，
又∵∠ASE=∠ETF，
在△EAS和△EFT中，


SA＝TF
∠ASE＝∠FTE
SE＝TE
∴△EAS≌△EFT（SAS），
∴∠SEA=∠TEF，AE=EF，
而∠TES=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=
2AE，
∵AE=AD=4，
∴AT-AS=AT-TF=AF=4
2．

点评：
本题考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

考点点评： 本题考查了圆周角定理以及推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．也考查了正方形的性质以及三角形全等的判定与性质．