已知函数f（x）=ln[x/a]．

解题思路：（Ⅰ）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a的值；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x−a

ax

（x＞a＞0），证明φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，即可得出结论；
（Ⅲ）若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀），则x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，设F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），则F（x）是关于x的一次函数，只需证明F（x）在（x₁，x₂）上单调，且满足F（x₁）F（x₂）＜0．将x₁，x₂看作自变量，得到两个新函数足F（x₁）、F（x₂），讨论它们的最值即可．

（Ⅰ）∵f（x）=ln[x/a]，∴f′（x）=[1/x]，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln[1/a]，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，
∴1-ln[1/a]-1=0，∴a=1；
（Ⅱ）证明：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-
x−a

ax（x＞a＞0），
则φ′（x）=-
(
x−
a)2
2x
ax＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，
∴x＞a时，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；
（Ⅲ）证明：由题意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀），
则
1
x0-e=
lnx2−lnx1−e(x2−x1)
x2−x1，
∴x₀ln
x2
x1-（x₂-x₁）=0，
设F（x）=xln
x2
x1-（x₂-x₁），则F（x）是关于x的一次函数，
∴只需证明F（x）在（x₁，x₂）上单调，且满足F（x₁）F（x₂）＜0．
F（x₁）=x₁ln
x2
x1-（x₂-x₁），F（x₂）=x₂ln
x2
x1-（x₂-x₁），
将x₁，x₂看作自变量，得到两个新函数足F（x₁）、F（x₂），讨论它们的最值．
F（x₁）=x₁ln
x2
x1-（x₂-x₁），F′（x₁）=ln
x2
x1＞0，函数是增函数，
∵x₁＜x₂，∴F（x₁）＜F（x₂）=0．
同理F（x₂）=x₂ln
x2
x1-（x₂-x₁），函数是增函数，∴F（x₁）＞F（x₂）=0．
∴F（x₁）F（x₂）＜0∴F（x）=xln
x2
x1-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有零点x₀，
∵
x2
x1＞1，∴ln
x2
x1＞0，
∴F（x）=xln
x2
x1-（x₂-x₁），）在（x₁，x₂）上是增函数，
∴F（x）=xln
x2
x1-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有唯一零点x₀，
∴对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，
存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀）．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．