已知△ABC内有一点P,∠A对应边a,∠B对应边b,∠C对应边c.作PD⊥a PE⊥b PF⊥c 若PD=ra PE=r

证明：
S=(a*PD+b*PE+c*PF)/2
=(a*ra+b*rb+c*rc)/2
=AD1*a/2
其中,AD1垂直于BC,即D1是BC边上高的垂足
对于三角形内任意一点P,存在：
Ra+ra>=AD1,P在AD1上时,(Ra+ra)=AD1
ra*a+b*rb+c*rc=a*AD1=ra*a+b*rb+c*rc
即,a*Ra>=b*rb+c*rc
当且仅当P在AD1上时,等号成立.
2)
当P在∠BAC的平分线上时,有rb=rc
所以,a*Ra>=b*rb+c*rc=b*rc+c*rb
所以,a*Ra>=b*rc+c*rb成立
当且仅当P在AD1上切在角B或角C的角平分线上时等号成立