线性代数：矩阵A与B相似的充分条件

你能有这样的结论是因为工科数学研究不够深入,一般只讨论实对称矩阵或对称矩阵.
我来举个例子
110
010
001
与
110
011
001
两个3阶矩阵的特征值和秩都相同,却不相似(这个你不用验证,这是jordan标准型~不一样一定不相似)
这样给你讲:你记得矩阵有相抵标准型吧?就是任何矩阵都可以经过初等变换为对角线上是1和0的矩阵,可以看他的秩用~那叫相抵标准型
同样,矩阵也有相似标准型:jordon标准型,只有标准型一样,矩阵才相似.对应的就是上边那位说的不变因子组初等因子组相同,或是拉姆达矩阵相抵.想必你学工科都没听过.
你的结论可以在对称矩阵时成立.
证明对称阵A,B,存在正交阵U,U逆AU=diag对角线上为特征值.如果两个矩阵特征值全相同 就有U1逆AU1=U2逆BU2,A,B相似

1秩相等 2特征值一致，并不能保证特征子空间的几何重数一致。

不一定。
比如1，2，2是三阶矩阵A的三个特征值，且R(A-2E)=2，此时R(A)=R(Λ)=3，且A和Λ的特征值均为1,2,2；但是由于λ=2是A的二重特征值，而R(A-2E)=2≠n-2=1，所以A不能相似对角化，即不存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=Λ，所以A和Λ不相似。
两个矩阵AB相似的充要条件为：存在可逆矩阵P，使P-1AP=B...

秩相等 特征值一致 是矩阵相似的必要条件而不是充分条件
如果两个矩阵特征值相同,并且可对角化(比如有n个不同的特征值), 则它们相似.
另外, 如果你学过λ-矩阵的内容, 那么两个矩阵相似的充分必要条件是它们的初等因子(或不变因子)相同.