如图,已知⊙O1、⊙O2内切于点P,⊙1的弦AB交⊙O2于C、D两点,连接PA、PC、PD、PB,设PB与⊙O2交与点E

如图,已知⊙O1、⊙O2内切于点P,⊙1的弦AB交⊙O2于C、D两点,连接PA、PC、PD、PB,设PB与⊙O2交与点E.
求证：PA·PE=PC·PD
jenny0701 1年前 已收到1个回答 举报
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3210147 春芽

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过P作⊙O1、⊙O2的公切线PF,使F、A落在PC的同侧.
∵PF切⊙O2于P,∴∠FPA＝∠PBD.　∵PF切⊙O1于P,∴∠FPC＝∠PDA.
∴∠APC＝∠FPC－∠FPA＝∠PDA－∠PBD.
由三角形外角定理,有：∠PDA＝∠DPE＋∠PBD,∴∠PDA－∠PBD＝∠DPE.
∴∠APC＝∠DPE.
∵P、C、D、E共圆,∴∠ACP＝∠DEP.
由∠APC＝∠DPE、∠ACP＝∠DEP,得：△APC∽△DPE,∴PA/PD＝PC/PE,
∴PA×PE＝PC×PD.

1年前

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