设 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ： x 2 ＋ ＝1(0< b <1)的左、右焦点，过 F 1 的直
| 设 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ： x 2 ＋  ＝1(0< b <1)的左、右焦点，过 F 1 的直线 l 与 E 相交于 A ， B 两点，且| AF 2 |，| AB |，| BF 2 |成等差数列．(1)求| AB |； (2)若直线 l 的斜率为1，求 b 的值． |
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（1）
（2）
(1)由椭圆定义知| AF 2 |＋| AB |＋| BF 2 |＝4，又2| AB |＝| AF 2 |＋| BF 2 |，得| AB |＝ .
(2) l 的方程为 y ＝ x ＋ c ，其中 c ＝
.，
设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )，则 A ， B 两点坐标满足方程组
消去 y ，得(1＋ b 2 ) x 2 ＋2 cx ＋1－2 b 2 ＝0，则 x 1 ＋ x 2 ＝
， x 1 x 2 ＝
.因为直线 AB 的斜率为1，所以| AB |＝
| x 2 － x 1 |，即 ＝ | x 2 － x 1 |.则
＝( x 1 ＋ x 2 ) 2 －4 x 1 x 2 ＝
－
＝
，解得 b ＝ .
（2）
(1)由椭圆定义知| AF 2 |＋| AB |＋| BF 2 |＝4，又2| AB |＝| AF 2 |＋| BF 2 |，得| AB |＝
.(2) l 的方程为 y ＝ x ＋ c ，其中 c ＝
.，设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )，则 A ， B 两点坐标满足方程组
消去 y ，得(1＋ b 2 ) x 2 ＋2 cx ＋1－2 b 2 ＝0，则 x 1 ＋ x 2 ＝
， x 1 x 2 ＝
.因为直线 AB 的斜率为1，所以| AB |＝
| x 2 － x 1 |，即 ＝ | x 2 － x 1 |.则
＝( x 1 ＋ x 2 ) 2 －4 x 1 x 2 ＝
－
＝
，解得 b ＝ .
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