椭圆问题已知F1F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的左右焦点,A,B分别是椭圆与x轴的两交点,p
椭圆问题
已知F1F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的左右焦点,A,B分别是椭圆与x轴的两交点,p是椭圆上任意点,求证：以PF2为直径的圆与以AB为直径的圆内切
已知F1F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的左右焦点,A,B分别是椭圆与x轴的两交点,p是椭圆上任意点,求证：以PF2为直径的圆与以AB为直径的圆内切
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解一）用椭圆的双焦点定义做是最简明的,有平面几何之风.
设以PF2为直径的圆的圆心为Q,半径记为R.连结OQ并延长至Q圆周上的点T.连结PF1.
易得OT=OQ+QT=OQ+R=1/2 PF2+1/2 PF1=1/2（PF1+PF2）=a(依椭圆的双焦点定义)
可见T在以AB为直径的上,由于T过两圆的连心线,所以交点T为切点.
解二）用解析几何的话,利用椭圆的参数方程能简化表达式.记c²=a²-b²,
设P(acosθ,bsinθ),则Q(1/2(c+cosθ),1/2sinθ),余略
设以PF2为直径的圆的圆心为Q,半径记为R.连结OQ并延长至Q圆周上的点T.连结PF1.
易得OT=OQ+QT=OQ+R=1/2 PF2+1/2 PF1=1/2（PF1+PF2）=a(依椭圆的双焦点定义)
可见T在以AB为直径的上,由于T过两圆的连心线,所以交点T为切点.
解二）用解析几何的话,利用椭圆的参数方程能简化表达式.记c²=a²-b²,
设P(acosθ,bsinθ),则Q(1/2(c+cosθ),1/2sinθ),余略
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