(x+2y)²（x²-2xy+4y²）² = [ (x+2y)（x²-2xy+4y²）]² = [x³+（2y）³]² =x^6+2x³（2y）³+（2y)^6 =x^6+16x³y³+64y^6
表达式分析与公式识别
题目给出的表达式为 (x+2y)²（x²-2xy+4y²）²。仔细观察可以发现，这并非简单的直接展开，而是两个平方项的乘积。关键在于识别第二个括号内的表达式 x²-2xy+4y²。如果我们将其与第一个括号 (x+2y) 联系起来，会联想到立方和公式：a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)。这里，若令 a = x, b = 2y，则 a² - ab + b² 恰好等于 x² - x*(2y) + (2y)² = x² - 2xy + 4y²。这正是我们第二个括号内的内容（未平方前）。因此，原式可以视为 [(x+2y)(x²-2xy+4y²)]²。
应用乘法公式进行简化
根据上一步的识别，我们利用立方和公式：a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，其中 a=x, b=2y。因此，(x+2y)(x²-2xy+4y²) = x³ + (2y)³ = x³ + 8y³。这是一个关键的简化步骤。于是，整个原表达式等价于 [x³ + 8y³]²。现在，问题转化为对一个二项式的平方进行展开，这可以直接应用完全平方公式：(m+n)² = m² + 2mn + n²。
最终展开与结论
将 m = x³, n = 8y³ 代入完全平方公式。首先计算 m² = (x³)² = x⁶。接着计算 n² = (8y³)² = 64y⁶。最后计算中间项 2mn = 2 * x³ * 8y³ = 16x³y³。将这三项相加，得到最终结果：x⁶ + 16x³y³ + 64y⁶。综上所述，通过巧妙地识别并连续应用立方和公式与完全平方公式，我们将复杂的表达式 (x+2y)²（x²-2xy+4y²）² 简化为标准多项式 x⁶ + 16x³y³ + 64y⁶。这种方法比直接暴力展开四项式的平方要高效、清晰得多。
