一道名题（详细讲解） 孙子算经中有这样一道题：“今有百鹿进城,每家取一鹿,不尽;又三家合取一鹿,恰尽.问城中有家多少?”这道题译成现代语言就是：现在有100只鹿要进城,城里的人家每家分一 …
一道名题的由来
《孙子算经》是我国古代一部重要的数学著作，其中记载了许多经典的数学问题。其中有一道著名的“百鹿问题”，原文为：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽；又三家合取一鹿，恰尽。问城中有家几何？”这道题以生动的场景，巧妙地融合了整数与比例思想，展现了古人高超的数学智慧。它不仅仅是一个算术问题，更是一个关于整数解和方程思想的早期范例，历经千年仍被传颂，成为中国古代数学名题的代表之一。
问题的详细解析
这道题的意思是：现在有100头鹿要分给城中的人家。如果每户人家分1头鹿，则鹿会有剩余；但如果每三户人家合起来分1头鹿，则刚好分完。问城中总共有多少户人家？我们可以用现代方程来理解：设城中共有x户人家。根据第一种分法“每家取一鹿，不尽”，可知x小于100。根据第二种分法“三家合取一鹿，恰尽”，意味着每户分得1/3头鹿，且全部分完，因此鹿的总数100等于总户数x乘以每户分得的鹿（1/3头），即得到方程：x * (1/3) = 100。解这个方程，可得x = 300户。然而，这似乎与第一种分法中“x小于100”矛盾。
关键在于对题意的精确理解。实际上，题目描述的是两种独立的分鹿方案，而非连续进行。正确的理解是：总户数是一个固定数。方案一：每户分1头，会剩下一些鹿（即100 - x > 0）。方案二：每3户分1头，刚好分完（即x必须能被3整除，且x / 3 = 100）。由此得出x = 300户。但代入方案一，300户每户分1头需300头鹿，远超100头，这与“每家取一鹿”是针对这100头鹿来分的语境不符。因此，更合理的解释是，题目可能存在传抄讹误或特殊语境。常见的合理解读是将其视为“盈不足”问题：设户数为x，则有 x > 100，且 x/3 = 100。解得x=300。此时“每家取一鹿不尽”意为若想每户独得一鹿，则100头鹿不够（不足），这与传统答案300户相符。此题的魅力正在于其引发的思考和讨论，体现了中国古代数学问题的趣味性与启发性。
