已知函数f（x）=ln（ax+1）+x 3 -x 2 -ax．（1）若x= 2 3 为y=f（x）的极值点，求实数a的值

（1）f′（x）=
a
ax+1 +3x ² -2x-a=
x[3a x 2 +(3-2a)x-( a 2 +2)]
ax+1

∵x=
2
3 为f（x）的极值点，∴f′（
2
3 ）=0
∴3a (
2
3 ) 2 +
2
3 （3-2a）-（a ² +2）=0且
2
3 a+1≠0
∴a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（3x-2），从而x=
2
3 为f（x）的极值点成立．
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x） ³ =
b
x
可得lnx-（1-x） ² +（1-x）=
b
x
即b=xlnx-x（1-x） ² +x（1-x）=xlnx+x ² -x ³ 在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x ² -x ³ 的值域．
b=x（lnx+x-x ² ）令h（x）=lnx+x-x ²
由h′（x）=
1
x +1-2x=
(2x+1)(1-x)
x ∵x＞0
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]．