如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y= a x （a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．

（1）①把D（4，1）代入y=
a
x 得a=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y=
4
x （x＞0）；
设直线l的解析式为y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得

4k+t=1
k+t=4 ，
解得

k=-1
t=5 ．
所以直线l的解析式为y=-x+5；
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x+5-m，
当方程组

y=
4
x
y=-x+5-m 只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，
化为关于x的方程得x ² +（m-5）x+4=0，
△=（m-5） ² -4×4=0，解得m ₁ =1，m ₂ =9，
而m=9时，解得x=-2，故舍去，
所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；

（2）作DF⊥x轴，如图，
∵点D为线段AB的n等分点，
∴DA：AB=1：n，
∵DF ∥ OB，
∴△ADF ∽ △ABO，
∴
AF
AO =
DF
BO =
AD
AB ，即
AF
a =
DF
b =
1
n ，
∴AF=
a
n ，DF=
b
n ，
∴OF=a-
a
n ，
∴D点坐标为（a-
a
n ，
b
n ），
把D（a-
a
n ，
b
n ）代入y=
a
x 得（a-
a
n ）•
b
n =a，
解得b=
n 2
n-1 ．