正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,BF交于点P 求证:AD=PD

证明：
取AB的中点G,连接DG,交AE于H
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD,∠ABE=∠BCF=90º
∵E,F分别是BC,CD的中点
∴BE=CF
∴⊿ABE≌⊿BCF（SAS）
∴∠BAE=∠CBF
∵∠BAE+∠BEA=90º
∴∠APB=∠CBF+∠BEP=90º
∵BG=DF,BG//DF
∴四边形BFDG是平行四边形
∴BF//GD
∴∠AHG=∠APB=90º
∵AG=BG
∴AH=PH【平行线等分线段定理】
∴DG垂直平分AP
∴AD=PD【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】

延长BF交AD延长线于G，则△BCF全等于△GDF,所以GD=BC=AD,
△ABE全等于△BCF，则∠AEB=∠BFC,又∠BCF+∠CBF=90°，
所以∠AEB+∠CBF=90°，所以∠APF=90°，由于GD=AD
所以PD=AG/2=AD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
即AD=PD

设O是ABCD中心，AE绕O逆时针旋转90º，到达BF.AE绕O顺时针旋转90º，到达DM.M∈AB

则AM＝MB﹙∵BE＝EC﹚MD⊥AEBF⊥AE∴DM∥BF

∴AN.＝NP,N＝AE∩DM[∵AM＝MB及 平行线定理 ]

MD是AP的中垂线，AD＝PD.[ 中垂线定理 ]

令H为AB的中点，连接DH交AE于G。
△ABE与△BCF中，AB = BC，BE = CF，角ABC = 角BCD = 90°。因此△ABE≌△BCF。因此∠BAE = ∠CBF。又∠CBF+∠ABF = 90°，所以∠BAE+∠ABF = 90°。所以∠APB = 90°。由此得出BF⊥AE。
同理可得DH⊥AE，所以DH∥BF。
因H平分AB，所以AH = HB，所以...