用柯西中值定理证明:当x>0时,e^px>1+px(p>0),并由此证明对任意n>0,lim(x趋于正无穷)e^x/x^

1、证明：
令f(x)=e^px g(x)=px（*）
Cauchy中值定理：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)（ξ∈(min(a,b),max(a,b))）
则令b=x,a=0,结合（*）有：(e^px-1)/px=pe^pξ/p=e^pξ（ξ∈(0,x)）
=>e^px=px*e^pξ+1（#）
由于p和ξ均为正,故e^pξ>1
故（#）式可化为：e^px=px*e^pξ+1>px*1+1=px+1
证毕
2、第1题的结论不提供的放缩尺度太大了!以致于对这一题一点价值也没有了
这道题这样做：
lim(x->+∞)e^x/x^n
=lim(x->+∞)[1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))]/x^n
>lim(x->+∞)[x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))]/x^n
>lim(x->+∞)x/(n+1)!=+∞
结论得证