已知函数f（x）=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，若存在
已知函数f（x）=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出a、b的值．并指出函数的单调区间．若不存在，请说明理由．
赞 我有勇敢的心 幼苗
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解题思路：要求是否存在a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，分两种情况a＞0，a＜0讨论函数的增减性利用导数求闭区间上函数的最值的方法得出a的值即可．
a≠0时，f′（x）=3ax2-12ax=3a（x2-4x）
令f′（x）=0，得x=0，或x=4∉[-1，2]（舍）
①a＞0时，如下表
∴当x=0时，f（x）取得最大值，∴b=3；
②a＜0时，如下表
∴当x=0时，f（x）取得最小值，∴b=-29
又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2）
∴当x=2时，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2，
综上：a=2，b=3或a=-2，b=-29．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力．分类讨论的数学思想的运用．
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cuiyinglsb 幼苗
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f′＝3ax(x-4)=0,
x=0∈[-1,2]，x=4不属于[-1,2]故舍去。
－1≤x<0, f′>0, f(x)是增函数。
0
f max＝f（0）＝b＝3。
f(x)在[-1,2]的最小值
f min＝min{f(-1),f(2)}
x=0∈[-1,2]，x=4不属于[-1,2]故舍去。
－1≤x<0, f′>0, f(x)是增函数。
0
f max＝f（0）＝b＝3。
f(x)在[-1,2]的最小值
f min＝min{f(-1),f(2)}
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