设集合M是满足下列条件的函数f（x）的集合：①f（x）的定义域为R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）
设集合M是满足下列条件的函数f（x）的集合：①f（x）的定义域为R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减．
（I）设f1（x）=x•|x-2|，f2（x）=x3-3x2+3x，判断f1（x），f2（x）是否在集合M中，并说明理由；
（II）求证：对任意的实数t，f（x）=
都在集合M中；
（Ⅲ）是否存在可导函数f（x），使得f（x）与g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的单调区间？请说明理由．
（I）设f1（x）=x•|x-2|，f2（x）=x3-3x2+3x，判断f1（x），f2（x）是否在集合M中，并说明理由；
（II）求证：对任意的实数t，f（x）=
| -x+t |
| x2+1 |
（Ⅲ）是否存在可导函数f（x），使得f（x）与g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的单调区间？请说明理由．
赞 gump_1978 幼苗
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解题思路：（I）对于函数f1（x）=x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2，结合函数的图象可知f1（x）∈M；由于f2′（x）=3（x-1）2≥0，则f2（x）∉M；（II）按照集合M满足的条件只需证明两条：①在定义域为R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减；（Ⅲ）假设存在满足条件的可导函数f（x），验证f（x）与g（x）=f′（x）-x是否有相同的单调区间即可．
（I）对于函数f1（x）=x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2，满足：①f（x）定义域R，②f（x）在（-∞，1），（2，+∞）内单调递增，在（1，2）内单调递减，故f1（x）∈M；对于函数f2（x）=x3-3x2+3x，由于f2′（x）=3x2...
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
考点点评： 本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，属于中档题．
1年前
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