如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．设点M为底面ABC内一点，定义f（
如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．设点M为底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别为三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积．若f（M）=（4，3x，3y），且ax-8xy+y≥0恒成立，则正实数a的取值范围是______． 
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解题思路：先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用新定义通过体积，推出建立x与y的关系，进而将恒成立问题转化成最值问题后，解之即可．
∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．
∴V P-ABC=[1/3]×[1/2]×3×4×5=10=4+3x+3y
即x+y=2，且x，y为正数
若ax-8xy+y≥0恒成立，
则2（[1/x]+[a/y]）≥16恒成立
又∵（[1/x]+[a/y]）（x+y）=1+a+[y/x]+[ax/y]≥1+a+2
a
∴1+a+2
a≥16
∴
a≥3或
a≤-5（舍去）
即a≥9
则正实数a的取值范围是[9，+∞）
故答案为：[9，+∞）
点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．
1年前
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