（2014•防城港二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形．DC=4，

解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形DEBA为正方形，PO⊥平面ABCD，由此能证明AE⊥平面PBD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：E为CD中点，四边形DEBA为菱形，
在直角三角形PBD中，BD=2
2，
∴AB²+AD²=8=BD²，∴AB⊥AD，
∴四边形DEBA为正方形，∴AE⊥BD，
由已知得PA=PB=PD=2，
∴点P在底面ABCD内的射影O是△ABD的外心，
又AB⊥AD，∴O为BD中点，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AE，
又PO与BD是平面PBD的两条相交直线，
∴AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，
2），
∴

DC＝(0，4，0)，

DP＝(−1，1，
2)，

BC＝(2，2，0)，
设平面PCD的法向量为

n＝(x，y，z)，
则



n•

DC＝0


n•

DP＝0，∴

4y＝0
−x+y+
2z＝0，
令x=
2，得y=0，z=1，∴

n＝(
2，0，1)，
∴cos＜

n，

BC＞=


n•

BC
|

n|•|

BC|=
2
2

3•
8＝

3
3，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为

3
3．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．