如图,在△PAB中,∠APB=120°,M、N是AB上两点,且△PMN是等边三角形.求证：BM·PA=PN·BP.

证明：因为 三角形PMN是等边三角形,
所以 角PMN=角PNM=角MPN=60度,
所以 角BPM+角B=角PMN=60度,
角APN+角A=角PNM=60度,
又因为 角APB=120度,角MPN=60度,
所以 角BPM+角APN=60度,
所以 角B=角APN,角A=角BPM,
所以 三角形BPM相似于三角形PAN,
所以 BP/PA=BM/PN,
所以 BMxPA=PNxBP.

如图，∵∠1+∠2+∠5=120，∠5=60°

∴∠1+∠2=60°

又∵∠3=∠1+∠A=60°

∠4=∠2+∠B=60°

∴∠A=∠2 ∠1=∠B

∴S△AMP∽S△BNP

∴PB：PA=BN：PM

∵PM=PN

∴PB×PN=PA×PM

△PBM与△APN相似，所以，PB：BM=AP：PN，整理就是PN*PB=PA*BM

证明：（如图）
　△PMN是等边三角形
　∴∠PMN＝60°
　∴∠PMB＝∠APB＝120°
　∠B＝∠B（公共角）
　∴△MBP∽△PBA（有两个角相等的三角形相似）
　∴BM：PM＝BP：PA（相似三角形的对应边成比例）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 而PM＝PN

∴BM：PN＝BP：PA

∴BM·PA=PN·BP（外项积等于内项积）