已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．

解题思路：（1）将方程化为标准方程的形式，要得到方程为圆，则方程的右边大于0，可得不等式，解之可得到m的范围．
（2）可设r²=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法，可确定函数的值域．

（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
变形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，
当且仅当-7m²+6m+1＞0，即7m²-6m-1＜0时方程表示圆；
所以−
1
7＜m＜1时，该方程表示一个圆；
（2）在−
1
7＜m＜1时，设r²=-7m²+6m+1，为开口向下的抛物线，
r²=-7m²+6m+1=−7(m−
3
7)2+
16
7
∴0＜r2≤
16
7
∴0＜r≤
4
7
7

点评：
本题考点： 二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题以二元二次方程为载体，考查方程表示圆的条件，考查配方法求二次函数的最值，正确配方是关键．