如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥A C，垂足为点F．

（1）DF与⊙O相切．
证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°．
∵OB=OD，∠DBO=60°，
∴∠BDO=60°．（3分）
∴∠ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°．
∴DF是⊙O的切线．（5分）

（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD ∥ AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=BD=2，
又∵∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=1．
∴FC=AC-AF=3．（7分）
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
在Rt△FHC中，sin∠FCH=
FH
FC ，
∴FH=FC•sin60°=
3
3
2 ．
即FH的长为
3
3
2 ．（10分）

1年前