求证明:ln(1+x)=e^x-1

求证明:ln(1+x)=e^x-1
其实是x趋近于0时，如何从lim[ln(1+x)]/x=1推导出lim(e^x-1)/x=1
zhengcrusoe 1年前 已收到3个回答 举报
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kdfsksng 花朵

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洛比达法则,lim(x趋近于0)[ln(1+x)]/x=lim(x趋近于0)[ln(1+x)]'/x'=lim(x趋近于0)[1/(1+x)]/1=1
lim(x趋近于0)(e^x-1)/x=lim(x趋近于0)(e^x-1)'/x'=lim(x趋近于0)(e^x)/1=1,ln(1+x)与e^x-1一般不相等

1年前 追问

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zhengcrusoe 举报

非常感谢，洛比达法则确实行，但能不能只用极限的内容就证明出来呢

举报 kdfsksng

lim(x趋近于无穷)(1+1/x)^x=e等价于lim(x趋近于0)(1+x)^(1/x)=e,lim(x趋近于0)[ln(1+x)]/x =lim(x趋近于0)ln[(1+x)^(1/x)]=lne=1, 用带皮亚诺的泰勒公式， e^x=1+x+o(x),(e^x-1)/x=[x+o(x)]/x=1+o(1),lim(x趋近于0)(e^x-1)/x=1

chenfande 幼苗

共回答了13个问题采纳率：84.6% 举报

设ln(1+x)=t，则e^t=1+x，x=e^t-1，e^x-1=e^(e^t-1)-1=e^(e^t)/e-1 x趋于0，Limt=0 所以e^t=1，e^(e^t)/e-1=0=t|x趋于0，即得证

1年前

1

轻解罗裳 幼苗

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这个题目有问题，将x=1代入上式，左边为小于1的数，右边为1.718...

1年前

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