已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 AD 的中点，连接BD并延长交EC的

（1）证明：∵C是

AD 的中点，∴

AC =

CD ，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴

AC =

AE
∴

AE =

CD
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．

（2）∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=
CF
BF =
3
4 ，CF=8，
得 BF=
32
3 ．
∴由勾股定理，得BC=
CF 2 +BF 2 =
40
3
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=
AC
BC =
3
4 ，BC=
40
3 ，
∴AC=10，
易知Rt△ACB ∽ Rt△QCA，
∴AC ² =CQ?BC，
∴CQ=
AC 2
BC =
15
2 ；

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP ∽ Rt△GFB，
∴
AF
FG =
FP
BF ，即AF?BF=FP?FG
易知Rt△ACF ∽ Rt△CBF，
∴CF ² =AF?BF（或由射影定理得）
∴FC ² =PF?FG，
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ） ² =FP?FG．