（2011•珠海二模）函数f（x）=[1/2a]x2-（1+[1a2）x+1/a]lnx，a∈R．

f′（x）=[1/ax−1−
1
a2+
1
ax]
=[1/ax][x²-（a+[1/a]）x+1]=[1/ax]（x-a）（x-[1/a]）
由题设知x＞0
a-[1/a]=
(a+1)(a−1)
a
（1）a=-1时，f′（x）＜0，则f（x）的单减区间是（0，+∞）
（2）①0＜a＜1时，a-[1/a]＜0，即0＜a＜
1
a，则f（x）在（0，a）和（[1/a]，+∞）上单增，在（a，[1/a]）上单减
②a=1时，a=[1/a]=1，f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上单增
③a＞1时，a-[1/a]＞0即0＜[1/a]＜a，则f（x）在（0，[1/a]）和（a，+∞）上单增，在（[1/a]，a）上单减
（3）由（2）知，a=2，1＜x＜3时，
当x=2时f（x）得到最小值为f（2）=−
3
2+
1
2ln2
∴1＜x≤3时，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+[1/2ln2＞−
3
2+
1
2ln2在1＜x＜3时有解
即b²＞3[−
1
2•
1
x2+
1
x]]有解，
令t=[1/x∈[
1
3，1]，k（t）=−
1
2t2+t，t∈

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立取到的条件，考查应用知识分析解决问题的能力和运算能力，分离参数转化为求函数的最值是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属难题．

1年前

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