线性代数的一道证明题设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,X为s维列向量,证r(AB)=r(B)是否是线性方程组ABX=0与

（1）必要性是显然的.因为既然ABX=0与BX=0已经同解,那它们的基础解系里的向量数当然应该相同,也就是说s-r(AB)=s-r(B)
故r(AB)=r(B)
（2）充分性就是要由“r(AB)=r(B)”推出“ABX=0与BX=0同解”
首先BX=0的解一定是ABX=0的解,这个很显然,代入就行了.
关键在于证明ABX=0的解也一定是BX=0的解.
由于r(AB)=r(B),所以这两个方程组基础解析的向量个数应该相同.
又由于“BX=0的解一定是ABX=0的解”,所以BX=0的基础解系里的向量代入ABx=0都是成立的.这样我们就直接找到了ABX=0基础解析的所有线性无关的解向量,它们就是BX=0的基础解系的向量.
故ABX=0的解也一定是BX=0的解
命题得证.

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