利用二重积分的几何意义,说明下列等式的正确性
利用二重积分的几何意义,说明下列等式的正确性
∫∫（D为积分区域） √ a^2-x^2-y^2 d〥=2/3 ∏a^3 (其中区域D为圆心在原点,半径为a的圆)
∫∫（D为积分区域） √ a^2-x^2-y^2 d〥=2/3 ∏a^3 (其中区域D为圆心在原点,半径为a的圆)
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在三维空间中,有半球面x^2+y^2+z^2=a^2（其中z>=0）
原积分式可化为：
∫∫(D为积分区域)zdxdy,它表示半球面x^2+y^2+z^2=a^2（其中z>=0）的上表面积,即球面x^2+y^2+z^2=a^2表面积的一半.
又知道半径为a的球表面积为(4/3)∏a^3
所以,半球面x^2+y^2+z^2=a^2（其中z>=0）的上表面积为(2/3)∏a^3,也即原积分式的值.
原积分式可化为：
∫∫(D为积分区域)zdxdy,它表示半球面x^2+y^2+z^2=a^2（其中z>=0）的上表面积,即球面x^2+y^2+z^2=a^2表面积的一半.
又知道半径为a的球表面积为(4/3)∏a^3
所以,半球面x^2+y^2+z^2=a^2（其中z>=0）的上表面积为(2/3)∏a^3,也即原积分式的值.
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