（2010•重庆三模）已知函数f（x）=x2-x+1，数列{an}满足：a1=2，an+1=f（an），其中n∈N*．

解题思路：（I）根据a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 可得a_n+1＞a_n，而a_n≥a₁=2＞1，可得结论；
（II）将a_n+1=a_n²-a_n+1转化成a_n+1-1=a_n（a_n-1），然后利用裂项求和法进行求和，即可证得结论．

（Ⅰ）证明：∵a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 …2分
∴a_n≥a₁=2＞1，则（a_n-1）²≠0⇒a_n+1＞a_n 所以1＜a_n＜a_n+1 …5分
（Ⅱ）证明：a_n+1=a_n²-a_n+1⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）
所以
1
an+1−1＝
1
an(an−1)＝
1
an−1−
1
an …7分
得
1
an＝
1
an−1−
1
an+1−1
1
an−1＝
1
an−1−1−
1
an−1

1
a1＝
1
a1−1−
1
a2−1
所以
1
a1+
1
a2+…+
1
an＝(
1
an−1−
1
an+1−1)+(
1
an−1−1−
1
an−1) +…+(
1
a1−1−
1
a2−1) …10分
=
1
a1−1−
1
an+1−1=

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与不等式的综合，同时考查了裂项求和法的运用和计算能力的考查，属于中档题．