已知函数f(x)=x+ ，g(x)=x+lnx，其中a＞0．

已知函数f(x)=x+ ，g(x)=x+lnx，其中a＞0．
(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值；
(Ⅱ)若对任意的x ₁ ，x ₂ ∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f(x ₁ )≥g(x ₂ )成立，求实数a的取值范围。
(Ⅰ)因为 ，其定义域为 ，
所以， ，
由x=1是函数h(x)的极值点，得 ，即3-a ² =0，
又由a＞0，得 ，
经检验，当 时，x=1是函数h(x)的极值点，
所以， 。
(Ⅱ)若对任意的 都有 成立等价于
对任意的 都有 ，
当 时， ，所以函数g(x)在 上是增函数，
所以， ，
又由 ，且 ，a＞0，
（1）当0＜a＜1且 时， ，
所以函数f(x)在 上是增函数，
所以， ，
由 ，得 ，
又由0＜a＜1知a不合题意，舍去；
（2）当 时，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
所以函数f(x)在 上是减函数，在 上是增函数，
所以， ，
由 ，得 ，
又 ，所以， ；
（3）当a＞e且 时， ，
所以函数f(x)在 上是减函数，
所以， ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ；
综上所述，a的取值范围是 。